Criptosistemas baseados em curvas elípticas: Âmbito e limitações

Abstract

As curvas elípticas têm um papel de relevo na criptografia actual, estando na origem de um dos métodos para estudo da factorização e da primalidade. O problema do logaritmo discreto no grupo de urna curva elíptica é utilizado como fonte para uma função de urna via num dos mais eficientes sistemas criptográficos. Não se obteve ainda um algoritmo com um tempo de execução subexponencial que permitisse resolver esse problema relativamente ao grupo de urna curva elíptica e que pudesse pôr em causa a segurança de um sistema criptográfico fundamentado nas curvas elípticas. Os critérios de primalidade baseados em curvas elípticas são ainda entre os melhores métodos utilizados para passar certificado de primalidade a um número com mais de mil dígitos decimais. A eficiência dos métodos para factorizar um número inteiro N, baseados em curvas elípticas, é tanto maior quanto maior for a diferença entre N e um dos divisores primos de N, o que impõe critérios preferenciais no uso do software mais adequado para as aplicações informáticas. ABSTRACT; Elliptic curves are mostly relevant in today's cryptography, allowing methods for factorization and primality. The discrete logarithm problem in the context of elliptic curves is used as a source for a one-way function in one of the most efficient cryptographic systems. No algorithm with a sub-exponential execution time, with respect to that problem, has been obtained, putting in risk the security of a cryptographic system based on elliptic curves. Primality tests based on elliptic curves are still among the best ones allowing primality certificates for numbers with more than a thousand digits. The factorization methods based on elliptic curves, currently used to factorize an integer N, become more and more efficient as the difference between one of the prime factors of N and N grows; this circumstance forces preferential criteria for the use of software.