Uma abordagem do ensino do cálculo com ordens de grandeza

Abstract

As aulas de mestrado da cadeira de Análise Não-Standard, leccionada pelo Pr. A. J. Franco de Oliveira, foram o despertar do meu interesse pela Análise Não-Standard. Ao terminar a parte curricular do mestrado, falei com o Pr. A. J. Franco de Oliveira, e pedi-lhe que fosse ele a orientar a minha dissertação, pedido que foi aceite. Em diálogo com o meu orientador acerca das possibilidades de desenvolver a dissertação em Análise Não-Standard, ficou assente que nela seria apresentada a preparação de alguns conteúdos, adequados a um curso de uma disciplina de Análise Não-Standard. Esta aplicação poderia verificar-se, por exemplo, na leccionação da disciplina de Análise Não-Standard a alunos da licenciatura em Matemática, do 1° ou 2° anos, ou equivalente, no caso das licenciaturas em Engenharia ou Física. A dissertação teve como "fonte" principal o texto que serviu de base ao Curso de Análise Não-Standard leccionado por F. Diener e Gautheron, em Nice no ano de 1996. É composta por sete capítulos. O capítulo I refere-se aos conjuntos finitos e infinitos, à distinção de objectos matemáticos em standard e não-standard e às regras que governam o seu uso. O capítulo II é consagrado ao conjunto dos números reais, e nele são descritas as principais propriedades dos referidos números, mas o próprio conceito de número real subjacente tem propriedades e elementos novos, relativamente à Matemática clássica, que advém da distinção standard/não-standard no universo. De especial importância, em todo o cálculo, é o facto de esta distinção, standard/não standard, permitir introduzir diferentes ordens de grandeza dos números (noções como as de número infinitesimal, apreciável, infinitamente grande), e as regras para lidar com elas, nomeadamente as chamadas regras de Leibniz. No capítulo III estuda-se as sucessões. As derivadas fazem parte do capítulo IV, em que é definido o conceito de função de classe Cl, o que é a função inversa de uma função, e não é esquecida a observação de uma função à lupa; para finalizar o capítulo, são indicadas algumas aplicações das derivadas. As funções de várias variáveis são estudadas no capítulo V, considerando-se, na maior parte dos casos, funções de duas variáveis para melhor se visualizar as situações. O capítulo VI refere-se aos crescimentos limitados. Dele constam o enunciado e a demonstração do teorema dos acréscimos finitos, e as fórmulas de Taylor com uma e duas variáveis. Os integrais e as primitivas são estudados no último capítulo, onde se indica como calcular áreas aproximando-as por reuniões de rectângulos de áreas infinitesimais; estuda-se ainda a ligação entre o cálculo das primitivas e o das áreas. Apresentada a estrutura do trabalho, seguem algumas considerações que focam a Análise Não-Standard em si mesma, na sua história, e na sua integração no universo da Matemática, e consequente interesse pela sua aplicação ao ensino. A Análise Não-Standard é, antes de mais, um instrumento ao dispor dos matemáticos de qualquer denominação ou especialidade que, a cada área ou aplicação preferencial, pode trazer mais ou trazer menos, conforme o grau de investimento e utilização. Em certo sentido que pode ser precisado tecnicamente, a utilização dos infinitamente pequenos e dos infinitamente grandes actuais, em análise e noutras áreas matemáticas é, tão somente, uma mais sofisticada utilização de uma forma ou outra do Axioma da Escolha ou algo que se assemelha. Desde finais do século XIX, a linguagem da Matemática é a linguagem da teoria dos conjuntos, e a teoria "mãe de todas as teorias" matemáticas é a teoria dos conjuntos, na versão de Zermelo-Fraenkel, incluindo o Axioma da Escolha, ZFC. Nesta teoria há um único conceito primitivo, o de pertença ( E ). Por condescendência platonista, chamamos às variáveis x, y, z,,.,., X, Y, Z, ... conjuntos, e imaginamos que os axiomas ZFC descrevem um "universo" de conjuntos, suficientemente rico para que nele se representem como conjuntos os objectos matemáticos habituais (números, relações, funções, espaços, estruturas, etc.) e as demonstrações habituais nas diferentes disciplinas matemáticas. Sempre que conveniente, a linguagem primitiva é enriquecida com novos símbolos, por meio de definições: constantes, isto é, símbolos que denotam conjuntos particulares como 0, 2, N, R2; símbolos relacionais ou predicativos, que denotam relações no universo, como as primitivas = , E e as relações de inclusão C , Ç ; símbolos funcionais ou operacionais, que denotam operações no universo como o U , n , x , etc. É importante saber que a prática matemática corrente se pode formalizar em ZFC. Essa prática não vai sofrer qualquer alteração na Matemática Não-Standard, excepto no sentido de um duplo enriquecimento. No final dos anos setenta surgiu uma axiomatização devido a E. Nelson, que toma como ponto de partida a teoria ZFC, na linguagem respectiva. A linguagem desta teoria (que é, em boa aproximação, a linguagem do discurso matemático tradicional), junta um novo predicado primitivo unário: "standard". Quer dizer, no universo dos objectos matemáticos (conjuntos) usuais (números, funções, espaços, etc.), distinguimos, por meio do novo conceito, os que são standard e os que o não são.